Le smash au Badminton

Nous avons filmé à la caméra rapide (à 1800 fps) les smashs effectués par Michael, un joueur de série A.
Pour avoir accès aux déformations du shaft au cours d’un smash, nous avons équipé la raquette d’une jauge de déformations 1 (cf. figure 8.4).
La jauge, dont la résistance varie lorsqu’elle est déformée, est couplée à un montage en pont de Wheastone par deux fils longs de 3 m (pour laisser le joueur libre de ses mouvements lors du smash).
Une carte d’acquisition permet d’enregistrer les variations de tension aux bornes du pont au cours du temps à une fréquence d’acquisition de 1000 Hz.
Le dispositif est étalonné de manière à faire correspondre les tensions mesurées aux déformations de la raquette et aux forces appliquées.

La figure 8.5-(a) présente la superposition de trois images d’un smash prises toutes les 15 ms. Le joueur accélère le manche de la raquette vers l’avant, la tête ne suit pas instantanément : le shaft se tord jusqu’à atteindre une déflexion maximale δmax = 17 cm

(image 1). Puis la raquette se déplie vers l’avant et atteint une vitesse maximale au passage à la verticale : c’est le moment optimal pour frapper le volant (image 3). A la vitesse de la raquette si elle était complètement rigide, s’ajoute une composante élastique due au fouetté de la tête de raquette.

Figure 8.5 – (a) Chronophotographie d’un smash de Michael : la tête de raquette se défléchit de 17 cm (image 1) et atteint une vitesse de 64 m/s juste avant l’impact (image 3). Les images sont prises toutes les 15 ms. (b) Evolution temporelle de la déflexion de la tête de raquette δ (●) et de la vitesse élastique associée δ˙ (•) au cours de l’expérience de smash. La raquette atteint une déflexion maximale δmax = −17 cm et une vitesse élastique maximale el = 5,1 m/s. La vitesse élastique utilisée au moment de l’impact est Uel = 3,2 m/s. (c) Phases du smash : préparation (images 1 à 7) et smash (images 8 à 10). L’image 10 correspond à l’impact. D’après [236].

La figure 8.5-(b) montre les données de la jauge de contrainte lors du même smash :
la déflexion de la raquette δ (●) et la vitesse élastique associée   δ˙(•).
La déflexion  est comptée positive quand la raquette se tord vers l’avant.
L’origine du temps est prise au moment de l’impact. Lors de la phase préparatoire (−360 ms ≤ t ≤ −60 ms), lorsque le joueur amène la raquette derrière son dos, tête vers le bas, on observe une première déflexion due à l’accélération de la raquette vers le bas et en arrière. Cette déflexion est positive et d’amplitude δ = 2,4 cm.

Puis la raquette repart vers l’avant pour aller frapper le volant (−60 ms ≤ t ≤ 0) : on observe alors une déflexion de la tête de raquette vers l’arrière (négative) et d’amplitude δmax = 17 cm à t = −30 ms.

Puis la tête se déplie vers l’avant pendant que la raquette continue à avancer vers le volant. 
On peut mesurer la vitesse élastique Uel = 3,2 m/s au moment de l’impact qui correspond à 5% de la vitesse réelle de la raquette.

On observe que l’impact n’a pas lieu au moment où la vitesse  élastique est maximale (U el∗= 5,2 m/s à t = −18 ms).
Cela signifie que le joueur n’utilise pas tout l’effet élastique disponible. En améliorant le timing de la frappe (c’est-à-dire en atteignant simultanément le maximum de vitesse de la raquette et le maximum de la vitesse élastique au moment de l’impact), il pourrait encore augmenter la vitesse de frappe.

La figure 8.6-(a) rassemble les vitesses élastiques mesurées lors des différents smashes effectués par Michael au moment de l’impact Uel (•) et les vitesses élastiques maximales obtenues Uel ∗ (●), en fonction de l’accélération de la raquette γ.
Cette accélération est déterminée à partir de la déflexion de la raquette.

Après étalonnage de la jauge de déformation en statique, on sait que la déflexion de la tête de la raquette correspond à l’application d’une force F telle que F = kδ avec k = 1,71 N/cm.
L’accélération lors du smash est évaluée comme γ  Fmax/M , où M = 86 g est la masse de la raquette.
On observe sur cette courbe, que la vitesse élastique disponible (et utilisée) augmente avec l’accélération, mais le joueur n’utilise jamais l’effet de manière optimale (Uel < U ∗el ).

Figure 8.6 – (a) (b) Evolution de la vitesse élastique utilisée à l’impact Uel  (•) et de la vitesse élastique maximale U*el(•) en fonction de l’accélération γ = Fmax/M , où Fmax = kδmax est la force maximale subie par la raquette et M sa masse. (b)
Evolution de la vitesse du volant en sortie de raquette vvolant avec la vitesse de la raquette au point d’impact vraquette pour toutes les expériences de smash.

Les points s’alignent sur une droite de pente 1,6 ce qui signifie que le rapport des vitesses est constant et vaut vvolant/vraquette ≈ 1,6.

Dans ces expériences de smash, on souhaiterait comparer la vitesse de la tête de raquette (avec la composante élastique) à la vitesse de la raquette au même point si elle était complètement rigide et ne se déformait pas.

Mais les mesures de vitesses sont difficiles à réaliser à partir des vidéos. Le mouvement est complexe (composition de mouvements de rotation et de translation), plusieurs articulations sont sollicitées (épaule, coude, poignet) et le déplacement de la raquette ne se fait pas uniquement dans le plan vertical observé.

Ainsi on sous-estime la vitesse de la raquette (en particulier on ne prend pas en compte la rotation du poignet juste avant l’impact autour de l’axe de l’avant bras). Pour preuve, on observe sur la figure 8.6-(b) l’évolution de la vitesse du volant en sortie de raquette vvolant avec la vitesse de la raquette au point d’impact vraquette au moment de l’impact.

On observe que ces deux grandeurs sont linéairement reliées et le rapport des deux vaut 1.6. D’après la partie 7.1, on s’attend à cette linéarité mais avec un rapport de vitesses plus faible et égal à 1,4.

La différence vient du fait qu’on a sous-estimé la vitesse de la raquette.

Pour s’affranchir de tous les problèmes géométriques, on envisage une expérience de smash à une dimension.

La linéarité entre les vitesses de volant et de raquette nous assurent que pour frapper un volant plus fort, tout ce qui compte est la vitesse de la raquette.

Nous réalisons cette expérience simplifiée sans volant et nous concentrons sur les déformations de la raquette.

Figure 8.7 – Expérience simplifiée : (a) Dispositif expérimental. (b) Chronophotographie de l’expérience pour une accélération (γ ≈ 40 m/s2) et un pas de temps dt = 40 ms. (c)
Chronophotographie de la même expérience, avec la tête de raquette lestée d’une masse m = 80 g.

Nous complétons l’étude du smash par des expériences plus simples où le manche de la raquette est fixé sur l’axe d’un vérin et soumis à de fortes accélérations.

Le dispositif expérimental utilisé est présenté sur la figure 8.7-(a).
Le vérin (PowerRod PRA 2510) est capable d’accélérations allant jusqu’à γ = 50 m/s2 sur une course ∆x = 22 cm.
Le manche de la raquette passe d’une vitesse nulle à une vitesse maximale v∗ = 3 m/s sur la moitié de la course en un temps τ1 variant entre 60 et 700 ms, puis décéléré sur le même temps. Comme l’accélération du vérin est limitée, la tête de raquette a été lestée avec une masse égale à une ou deux fois sa propre masse (m1 = 88 g et m1 = 175 g), pour amplifier les déformations.
Lors de ces expériences sans impact avec le volant, nous nous sommes concentrés sur la dynamique de la raquette.

Dans cette expérience à une dimension, la mesure de la dynamique de la raquette et de la déflexion du shaft est aisée à partir de vidéos rapides (à 1000 fps), prises de côté.

La figure 8.7-(b) montre la chronophotographie d’une expérience à une dimension, réalisée avec le vérin, pour une accélération (γ ≈ 40 m/s2) et un pas de temps dt = 40 ms. La déflexion de la tête de raquette reste faible : δmax = 2 cm. La figure 8.7-(c) montre la même expérience avec la tête de raquette lestée d’une masse m = 80 g. La déflexion est plus grande δmax = 8 cm dans ce cas et on s’approche plus de ce qui se passe dans le jeu.

Figure 8.8 – Dynamique de la raquette dans l’expérience du vérin présentée sur la figure 8.7-(b) : positions (a) et vitesses (b) des points A (○) et B (o) au cours du temps.
Le manche parcourt 22 cm et passe de vA = 0 à vA = 3,1 m/s en T1 = 75 ms. Ce qui correspond à une accélération γ = 40 m/s2 et à une pulsation ω = 42 rad/s.
La pulsation propre de la raquette est ω0 = 84 rad/s. Le rapport des pulsations est ω/ω0 = 0,50 et le rapport des vitesses max vaut v∗B /v∗A = 1,4.

Figure 8.9 – Dynamique de la raquette dans l’expérience du vérin présentée sur la figure 8.7-(c) : positions (a) et vitesses (b) des points A (○) et B (o) au cours du temps. C’est la même expérience que précédemment, mais la tête de raquette est lestée de m = 88 g. La pulsation propre de la raquette lestée est ω0 = 36,6 rad/s. Le rapport des pulsations est ω/ω0 = 1,15 et le rapport des vitesses max vaut v∗B /v∗A = 1,67.

Les figures 8.8 et 8.9 présentent la dynamique de la raquette pour les expériences réalisées avec le vérin et présentées sur les chronophotographies de la figure 8.5.
Les figures (a) montrent l’évolution des positions du manche A (○) et de la tête de raquette B (o) avec le temps, et les figures (b) l’évolution des vitesses. Dans les deux cas, le manche fixé au vérin se translate sur une distance de 22 cm et passe d’une vitesse nulle à une vitesse maximale v*A  ≈ 3 m/s en un temps τ1  = 75 ms.
Le point A subit une accélération γ ≈ 40 m/s . Si  la raquette était infiniment rigide, le déplacement de B et sa vitesse seraient identiques à ceux de A. En réalité, l’accélération du manche provoque une déflexion du shaft de la raquette, qui déphase le déplacement de B. Lorsque la déflexion a atteint sa valeur maximale, la tête de raquette se déplie vers l’avant, et atteint une vitesse maximale v∗ .
La différence entre les deux expériences est la raquette utilisée.
Dans le cas de la figure 8.8, la pulsation propre de la raquette est évaluée à ω0 = 84 rad/s. (La raquette est fixée au niveau du manche, on la fait vibrer et on mesure la pulsation d’oscillation.)
Dans le deuxième cas, on a fixé une masse m = 88 g sur la tête de raquette pour amplifier l’effet élastique.
La pulsation propre de la raquette est modifiée et vaut ω0 = 36,6 rad/s. Le maximum de vitesse du point B est plus grand dans le deuxième cas, où l’effet élastique est plus marqué. On observe aussi que le maximum de vitesse n’est pas obtenu au même moment. (Le maximum de vitesse de B arrive avant le maximum de vitesse de A dans le premier cas, et c’est l’inverse dans la deuxième expérience.)

Figure 8.10 – Evolution du rapport des vitesses maximales avec le rapport ω/ω0, où ω0 est la pulsation propre de la raquette utilisée et ω = π/τ1 correspond à la pulsation de la vitesse vA(t). Les pulsations propres des raquettes valent respectivement ω0 = 84,0 rad/s (o), 36,6 rad/s (o) ou 27,6 rad/s (o) selon qu’il s’agit de la raquette seule, ou si la tête de raquette est lestée de m = 88 g ou m = 175 g.

La figure 8.10 présente le rapport des vitesses maximales des points B et A en fonction du rapport ω/ω0, où ω0 est la pulsation propre de la raquette utilisée et ω = π/τ1, où τ1 est le temps mis pour que le manche passe d’une vitesse nulle à sa vitesse maximale. (On assimile τ1 à la demi-période de la vitesse de vA(t)). Les pulsations propres des raquettes valent respectivement ω0 = 84,0 rad/s (o), 36,6 rad/s (o) ou 27,6 rad/s (o) selon qu’il s’agit de la raquette seule, ou si la tête de raquette est lestée de m = 88 g ou m = 175 g. Le rapport des vitesses est égal à un pour les faibles pulsations, puis augmente pour des pulsations adimensionnées comprises entre 0,4 et 1,2 avant de diminuer lorsque la pulsation devient  trop grande. Le rapport des vitesses est maximum v∗B /v∗A = 1,67 pour des pulsations voisines de la pulsation propre ω = 1,15 ω0.

Figure 8.11 – Modèle équivalent de la raquette de masse M et de raideur k, soumise à un déplacement xA(t) connu.

Un modèle simple est présenté sur la figure 8.11. Il consiste à considérer le shaft de la raquette comme un ressort de raideur k qui relie le point A soumis à un déplacement xA(t) connu et le point B, de masse m.
On cherche à déterminer le mouvement du point B.
On considère un déplacement de A harmonique : xA(t) = a (1 − cos ωt) tel que xA(0) = x˙ A(0) = 0 et la dynamique du point B est donnée par la seconde loi de Newton :

avec les conditions initiales : xB (0) = x˙ B (0) = 0. On a dimensionne le problème avec la longueur caractéristique a et le temps caractéristique 1/ω et on intègre l’équation (8.1). Les vitesses de A et B s’écrivent :

Figure 8.12 – (a) Evolutions temporelles adimensionnées des vitesses des points A (−) et B (−) obtenues par intégrations de l’équation 8.1 pour ω˜ = 0,62. (b) Evolution du rapport des vitesses maximales en fonction de la pulsation ω˜ (−). On superpose à cette prédiction les points expérimentaux (○) obtenus pour les essais réalisés avec le vérin.

On a superposé sur la figure 8.12-(b) à la prédiction du rapport des vitesses en fonction du logarithme de la pulsation (−) les points expérimentaux obtenus lors des expériences réalisées avec le vérin (○). La forme de la courbe semble en accord avec les données expérimentales, mais on observe un décalage : pour un v∗B /v∗A donné, la pulsation expérimentale est environ deux fois plus grande que ce qui est prévu par le modèle. On peut proposer deux explications pour cela :

on observe sur la figure 8.7-(c) qu’aux grandes pulsations, le manche bouge un peu.
Le fait que le manche ne soit pas solidement fixé se traduit par une raideur k abaissée et donc une pulsation propre ω0 plus grande. La pulsation adimensionnée ω˜ = ω/ω0 se trouve alors diminuée.

Une deuxième explication peut venir du fait qu’on a considéré l’excitation (la vitesse de A) comme harmonique dans le cas le plus simple.

On observe sur les figures 8.8 et 8.9 que le signal de vitesse de A est plutôt triangulaire que sinusoïdal et pas forcément symétrique, à cause de limitations de puissance mécanique du vérin. Nous discutons l’effet de la forme de l’excitation dans ce qui suit.

Dans cette partie, nous considérons que le point A est soumis à une accélération constante v∗A/τ1 pour 0 ≤ t ≤ τ1 puis à une décélération constante vA∗ /(τ −τ1) pour τ1 ≤ t ≤ τ .

La forme triangulaire du signal de vitesse est présentée sur la figure 8.13. On fixe l’accélération v∗A /τ1 = 1 et en faisant varier le paramètre τ /τ1, on règle la géométrie du triangle.
Ainsi pour τ /τ1 = 1, on a une décélération infinie, pour τ /τ1 = 2 le triangle est symétrique :la décélération est égale à l’accélération (en norme).

Pour τ /τ1 > 2, la décélération est plus faible.
la décélération est égale à l’accélération (en norme). 

La vitesse du point B est obtenue par intégration numérique de l’équation (8.1) pour une excitation triangulaire du point A. Les vitesses des points A (−) et B (…) sont présentées sur la figure 8.13 pour différents rapports τ /τ1 et pour ω0τ1 = 3. On observe sur ces courbes que la valeur du maximum de vitesse du point B varie avec le rapport τ /τ1.

Figure 8.13 – (a) Forme du signal de vitesse d’excitation x˙A (t) : la vitesse croît linéairement de 0 à v∗A pendant τ1 puis décroît linéairement jusqu’à 0 de τ1 à τ . (b) à (e) Vitesses des points A (−) et B (…) en variables adimensionnées pour différents excitations triangulaires de paramètre τ /τ1 = 1 (b), 2,2 (c) 6 (d) et 10 (d) et pour une pulsation ω0τ1 = 3.

La figure 8.14 présente les variations du rapport des vitesses maximales en fonction de la pulsation d’excitation ω˜ = π/ω0τ1 pour des excitations triangulaires de différents rapports cycliques τ /τ1 = 1 (−), 2,2 (−), 6 (−) et 10 (−). On superpose à ces courbes le résultat obtenu pour une excitation harmonique (…), ainsi que les points obtenus expérimentalement avec le vérin (○). Lors des expériences, le rapport cyclique de la vitesse de A n’est pas très bien contrôlé, mais on le mesure pour la série d’expériences présentées : 1 ≤ τ /τ1 ≤ 2,2. Les prédictions obtenues avec une excitation triangulaire de rapport cyclique τ /τ1 = 2,2 (donc presque symétrique) rendent assez bien compte des résultats expérimentaux malgré une certaine dispersion.

L’influence de la forme de la vitesse de la main sur la vitesse de la tête de raquette montre que le joueur peut adapter son mouvement pour atteindre des vitesses plus grandes.

Il semble que pour une vitesse maximale v∗A et un temps pour l’atteindre τ1 donnés (ce qui fixe aussi l’accélération), on atteint une vitesse maximale de raquette qui est d’autant plus grande que la décélération de la main est faible (soit que τ /τ1  est grand. Pour τ /τ1  = 10, le maximum du rapport des vitesses maximales vaut 1,8  : la raquette atteint une vitesse maximale 1.8 fois plus grande que la vitesse de la main, s’il frappe avec la bonne accélération et  dans  le  bon  timing.  
L’optimum  serait  une  fonction  de  Heaviside  pour  la  vitesse  de  la main (τ /τ1 -→ ∞) : la main passe d’une vitesse nulle à sa vitesse maximale instantanément (accélération  infinie)  puis  maintient  une  vitesse  constante  jusqu’à  l’impact  (décélération nulle). Dans ce cas, la vitesse de la tête de raquette atteint le double de la vitesse maximale de la main. De plus, plus le rapport τ /τ1  est grand plus le pic du rapport des vitesses est large : le système est moins sélectif c’est-à-dire que le rapport des vitesses maximales sera grand sur un large domaine d’accélérations.

Figure 8.14 – Rapport des vitesses maximales de la tête de raquette et du manche rigide en fonction de la pulsation adimensionnée : pour une excitation en vitesse triangulaire de rapports cycliques τ /τ1 = 1 (−), 2,2 (−), 6 (−) et 10 (−), pour une excitation harmonique (…) et résultats expérimentaux (○) pour les essais à une dimension réalisés avec le vérin.

Les expériences simplifiées réalisées avec le vérin nous ont permis de montrer que l’effet élastique existe et de comprendre comment l’utiliser de manière optimale. On peut revenir à ce qui avait motivé ce travail : pour des raquettes de taille semblable, le record de vitesse du volant de badminton est 137 m/s, soit 1,88 fois plus que le record de vitesse de la balle de tennis (73 m/s). Cette différence peut être due à l’effet élastique de déflexion du shaft qui est utilisé au badminton, et pas au tennis.

Toutefois il reste des choses à comprendre pour expliquer le smash au badminton. Dans le cas d’un smash réel, l’effet est le même que dans l’expérience de translation,

mais tout est plus complexe à mesurer. Les mouvements de rotation du bassin de l’épaule, du coude et du poignet se superposent, le mouvement de pronation du poignet vient encore compliquer la dynamique. Un projet est en cours pour acquérir la dynamique en 3D de la raquette au cours du smash avec une caméra VICON et en parallèle des déformations du shaft. Elle permettra de mesurer la vitesse de la tête de raquette en 3D et de calculer la vitesse au même point si on avait une raquette infiniment rigide à partir de la dynamique du manche.

Un autre effet intéressant est visible dans la phase de préparation. Lorsque le joueur ramène la raquette vers l’arrière avec la tête de raquette vers le bas, il y a une première déflexion du shaft d’amplitude faible, puis la raquette repart vers l’avant et se tord dans l’autre sens. La pré-déformation du shaft permet probablement une plus grande déforma- tion la la raquette pendant la deuxième phase du smash et peut-être d’exacerber l’effet élastique.

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